不定積分

一、不定積分

1、原函數(shù)

二、換元積分法

1、第一換元法（湊微分法）

（1）直接湊

要求不定積分，首先考慮能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中沒有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接湊。

特點(diǎn)：能在積分基本公式中找到相近的積分公式

【注】 積分公式的特點(diǎn)是三個(gè)一致，即被積函數(shù)、積分變量和積分結(jié)果中都是x，是一致的，而所求積分中被積函數(shù)和積分變量往往是不一致的，所以做題時(shí)要湊成一致的。

（2）間接湊

間接湊就是不定積分本身在積分公式中找不上相同或相近的，但是通過湊微分，變形，可以湊成形式上和公式相同的，從而利用性質(zhì)和公式來解決問題的方法。其本質(zhì)就是先湊微分，再湊公式。

特點(diǎn)：被積函數(shù)中含有導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

2、第二類換元法（目的是為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)）

（1）根式換元

特點(diǎn)：被積函數(shù)中含一般根式，直接換元，根號(hào)是誰就換誰

三、分部積分法

分布積分法主要用來求解函數(shù)乘積的不定積分，當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積，而又沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系時(shí)，考慮分部積分法。

1、分部積分法原則

【注】 （1）有時(shí)用一次分部積分不能得到最后結(jié)果，需要用多次。

（2）有時(shí)通過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式, 從而解出所求積分.

（3）有時(shí)被積函數(shù)只是一個(gè)函數(shù)，也可以用分部積分。

定積分

一、定積分的概念——（本質(zhì)是和式的極限）

二、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

變上限積分主要考查它的求導(dǎo)性質(zhì)，考試時(shí)遇到變上限積分的問題都要進(jìn)行求導(dǎo)，主要的考查題型是：直接給一個(gè)變限積分，進(jìn)行求導(dǎo)；定積分求導(dǎo)；含有變限積分的極限問題。

四、第一換元法（湊微分法）（積分上下限可保持不變）

定積分的第一換元法和不定積分的第一換元法沒有太大的區(qū)別，只要按照步驟仔細(xì)計(jì)算即可。

（1）直接湊（能在積分基本公式中找到相近的積分公式）

（2）間接湊（先湊微分，再湊公式）（被積函數(shù)中含有導(dǎo)數(shù)關(guān)系）

五、第二類換元法（目的是為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)）（注意積分上下限的變化）

（1）根式換元

特點(diǎn)：被積函數(shù)中含一般根式，直接換元，根號(hào)是誰就換誰

【注】（1）由于換元中積分變量發(fā)生了變化，所以其對應(yīng)的積分上下限也會(huì)發(fā)生變化，定積分的第二換元法需要注意積分上下限的變化；

（2）定積分的計(jì)算不需要回代。

六、定積分的分部積分法